VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Medidas de Dispersión.
Objetivos.
v Calcular la desviación de cada término
respecto a la Media Aritmética.
v Expresar la mayor o menor dispersión de una
distribución en términos del resultado de la Varianza.
v Aplicar en distribuciones de datos no
agrupados diversas formulas, para hallar la Varianza y la Desviación Estándar.
v Utilizar las propiedades de la Varianza y de
la Desviación Estándar con el objeto de simplificar algunos cálculos.
RANGO: Diferencia entre los valores máximos y mínimos
de una distribución. En la siguiente distribución tenemos:
82,90,80,64,79,62,54,71,82,63,80,86.
Ordenando se tiene:
54, 62, 63, 64, 71, 79, 80, 80, 82, 82, 86, 90
Valor máximo: 90 y
valor mínimo: 54; luego el rango es 90 – 54 = 36
Media Aritmética
(M) =
Dadas las
distribuciones A = 12, 10, 14, 6, 13, 5
y B = 7, 11, 5, 14, 8, 9
Rango de A. 14 –5 =
9
Rango de B: 14 – 5 = 9
M de A: 
M de B: 
M de B:
Gráficamente podemos
visualizar:
Distribución A.
|
*5
|
*6
|
7
|
8
|
9
|
*10
|
11
|
12
|
*13
|
14
|
Distribución B.
|
*5
|
6
|
*7
|
*8
|
*9
|
10
|
*11
|
12
|
13
|
*14
|
*El rango es una
medida que nos dice qué tan lejos o dispersos están los valores extremos de una
muestra, pero no dice cómo se encuentran ubicados los otros valores de la
muestra.
*En la distribución
B los valores de la muestra se encuentran más cerca de la M que en la
distribución A. Por lo tanto, se dice que los valores de la muestra están más
dispersos en A que en B.
*Qué tan lejos está
el puntaje 13 de la M en la distribución A?
Hallemos la diferencia: 13 –10 = 3; Tres unidades a la derecha de la M
(Puntaje indicado menos la M de la distribución).
*En cualquier
distribución la diferencia de un término de la muestra respecto a la M, X –
M, nos dice qué tan lejos o qué tan desviado está este valor X de la
M: Por este motivo X – M se llama Desviación del término X a la Media
Aritmética
Tablas de
desviaciones de cada término a la M para las anteriores distribuciones:
|
Distribución A
|
|
Distribución B
|
||||
|
X
|
M
|
X – M
|
X
|
M
|
X – M
|
|
|
5
6
10
12
13
14
|
10
10
10
10
10
10
|
-5
-4
0
2
3
4
|
5
7
8
9
11
14
|
9
9
9
9
9
9
|
-4
-2
-1
0
2
5
|
|
De lo anterior
podemos deducir que la Desviación X – M, de un término a la media Aritmética es
negativo cuando dicho término es menor que la M de la distribución. La M se
toma como el punto de equilibrio de la distribución y se consideran los
sentidos positivo y negativo.
Si entonces este
resultado hace que la desviación de un término X a su M, no sirva para medir la
desviación total de una distribución; ya que precisamente, la suma de las
desviaciones de cada término a su media es siempre igual a cero.
entonces este
resultado hace que la desviación de un término X a su M, no sirva para medir la
desviación total de una distribución; ya que precisamente, la suma de las
desviaciones de cada término a su media es siempre igual a cero. Actividad
1. Teniendo en cuenta las variables edad, peso y
estatura de los integrantes de su grupo, hallar para cada distribución de
datos: el rango, la representación gráfica y elaborar las respectivas tablas de
desviación de los términos a la media aritmética.
2. En qué consiste
la varianza y la desviación estándar.
Pasatiempos
Pablo, Sara, Daniel, Claudia y Eduardo se
citaron en un centreo comercial. Encuentre el orden de llegada
de cada uno teniendo en cuenta la siguiente
información:
El primero en
llegar fue Eduardo. Sara llegó antes que Daniel, pero después de Pablo. Claudia
llego luego de Eduardo y antes que Pablo.
Para construir una
cinta de Möbius toma una tira de papel y pinta dos líneas azules y una verde,
como muestra la figura. Tuércela de tal manera que el punto A toque al punto C
y que el punto B toque el punto D.
A
D
|
Azul
|
|
Verde
|
|
Azul
|
|
|
B
C
a). Cuántas
caras tiene la cinta de Möbius?
b). Cuántos
bordes?
c). Construir otra
cinta de Möbius, pero tuércela dos veces, de manera que A toque a D y C toque a
B. Cuántas caras tiene esta cinta?
d). Cuántos bordes?
e). Construir una
cinta de Möbius torcida tres veces: A toca a C y B toca a D. Cuántas cara y
cuántos bordes tiene esa cinta?
f). Recortar cada
una de las cintas por la línea verde. Qué obtienes para cada una?
g). Construye de
nuevo las tres cintas anteriores y recórtalas por las líneas azules. Qué
obtienes para cada una?
LA VARIANZA
Medida que determina el grado de desviación o de dispersión de los
datos de una distribución con respecto a la media Aritmética (M). Si el valor de la varianza de una
distribución A es menor que el encontrado en una distribución B, se dice que
los datos de la distribución A son más homogéneos que los de la distribución
B. Para una muestra de tamaño n, X1,
X2, X3, ...Xn y con Media Aritmética M; la varianza se puede calcular así: =
Ejemplo: Distribución A: 5, 6, 10, 12, 13, 14 Distribución B: 5, 7. 8, 9, 11, 14
Al analizar la distribución A y B, en la guía anterior, se observó que
en la primera los datos de la muestra están más dispersos que en la segunda. Se
obtiene el mismo resultado cuando se calcula la varianza en las dos
distribuciones?
|
DISTRIBUCIÓN A
|
|
DISTRIBUCIÓN B
|
||||||
|
X
|
M
|
X-M
|
(X-M)2
|
X
|
M
|
X-M
|
(X-M)2
|
|
|
5
6
10
12
13
14
|
10
10
10
10
10
10
|
-5
-4
0
2
3
4
|
25
16
0
4
9
16
|
5
7
8
9
11
14
|
9
9
9
9
9
9
|
-4
-2
-1
0
2
5
|
16
4
1
0
4
25
|
|
|
N = 6
|
0
|
70
|
N = 6
|
0
|
50
|
|||
= 
= 
El resultado de la
varianza en la distribución B es menor que la varianza de la distribución A.
Quiere decir que entre más agrupados estén los datos de una muestra alrededor
de la M, más pequeño es el valor de la varianza.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Medida que nos
sirve para calcular la dispersión de los valores de la muestra respecto a la M.
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la varianza: = 
En las
distribuciones anteriores tenemos respectivamente:
Distribución
A: = 
Distribución
B: = 
Distribución
B: = Actividad.
1. Teniendo en cuenta las variables edad, peso y
estatura de los integrantes del grupo, hallar para cualquier variable de la
distribución de datos: la varianza y la desviación estándar.
2. Teniendo en cuenta la Varianza y la Desviación
Estándar, construir las respectivas tablas para las distribuciones dadas en
kilos. Diga cuál distribución es la más homogénea y por qué?
A = 27, 71, 84, 19,
20.7, 34.9 B = 32.6, 65, 80.4, 23, 34, 19
Pasatiempos:
v En una caja hay 50 lápices de color rojo, de
color azul, los 2/5 de los rojos y de color verde, ¼ de los azules. Si saco un
lápiz de la caja, sin mirar, qué color tendrá menor probabilidad de salir?
Explique.
v Se tienen cintas con los siguientes colores:
blanco, azul, negro, café y verde. Si deseamos formar pares de diferente color,
cuáles son las posibles combinaciones que se pueden hacer?
v Los siguientes datos corresponden al peso en
kilos de un grupo de estudiantes: 48, 47, 48, 48, 45, 44, 48, 47, 48.5, 46, 48,
48, 48, 44, 48
a. Cuál es la moda?
b. Cuál es la frecuencia?
c.
Si los
estudiantes pesarán lo mismo, cuál sería el peso de cada uno?
d. Si incrementamos cada dato en 3 kilos, en
cuánto se incrementa la media aritmética?
e.
En cuánto
queda modificada la moda si cada dato lo incrementamos en 5 kilos?
OTRAS FORMAS DE CALCULAR VARIANZA
Varianza: 
En las
distribuciones respectivas A y B dadas en la guía anterior podemos calcular la
varianza aplicando esta ecuación.
En las
distribuciones respectivas A y B dadas en la guía anterior podemos calcular la
varianza aplicando esta ecuación.|
Distribución A
|
Distribución B
|
||||
|
Xi
|
 |
Varianza
|
Xi
|
|
Varianza
|
|
5
6
10
12
13
14
|
25
36
100
144
169
196
|
 |
5
7
8
9
11
14
|
|
|
 |
 |
|
|
|
|
|
Cuál es la desviación Estándar de cada
distribución de datos
|
|||||
VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Aspectos a tener en cuenta:
Rango, recorrido u oscilación: X
Max - X min. Media
aritmética o promedio: X = M =
Grafica
de distribuciones.
Grafica
de distribuciones.
Tabla de desviaciones de cada término a la Media Aritmética:
Varianza: S 2 = Otra forma
de calcular Varianza: S2 =
Otra forma
de calcular Varianza: S2 =
S 2 = 
Varianza conocidos N, M y la suma de los
cuadrados (
Varianza conocidos N, M y la suma de los
cuadrados (
Desviación Estándar o Típica: S = 
= = : Sigma
= = : Sigma
Varianza (S 2): Da origen a otra medida de dispersión más
significativa, desviación típica o estándar (S). Se define como la media
aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la Media Aritmética
(X = M). Primera aproximación sobre la cuantificación del grado de variabilidad
en una distribución cualquiera. Permite comparar dos distribuciones en cuanto
su variabilidad absoluta, lo que nos indica cuál es más homogénea o
heterogénea
Presenta el
inconveniente de expresar el grado de dispersión de una variable en unidades
diferentes a las que se tienen originalmente: ejemplo: $ al cuadrado.
Desviación Estándar o Típica (S = ): Tomada
siempre con signo positivo. Raíz cuadrada de las desviaciones respecto a la
media aritmética o promedio (X = M)
): Tomada
siempre con signo positivo. Raíz cuadrada de las desviaciones respecto a la
media aritmética o promedio (X = M)
Ejercicio 1: Se tienen dos almacenes A y B, cada uno con los
siguientes empleados y los siguientes salarios en miles de pesos:
Almacén A: 560 680 720
420 630 700
760 820 950
660
Almacén B: 600 740 640
700 750 780
720 640 650
680
Para cada distribución hallar:
a. Rango, recorrido u oscilación
b. Media aritmética o promedio
c.
Tabla de
desviaciones de cada dato con relación a la M = X
d. Varianza: S2
e.
Desviación
estándar o típica: S =
f.
Otra
forma de calcular varianza.
g.
Conclusiones.
Ejercicio 2: Las ventas diarias en un surtidor de repuestos durante
la semana son las siguientes (en millones de pesos): Lunes: 600, Martes: 800,
Miércoles: 880, Jueves: 980, Viernes: 1060, Sábado: 1200 Calcular los incisos
del numeral anterior.
Ejercicio 3: Proponer una situación problema relacionada con su desempeño, ya sea
laboral, personal o de la cotidianidad del entorno en cual usted se
desenvuelve; Calcular los incisos anteriormente indicados.
Ejercicio 4: En un conjunto de variables se sabe que 
= 10, 
= 260 y S2 = 25; hallar n.
= 10, = 260 y S2 = 25; hallar n.
Ejercicio 5: La media aritmética de 10 observaciones es 3 y la suma de los
cuadrados es 100; Calcular S2 y S?
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